Post by Emperor AAdmin on Dec 25, 2008 16:00:56 GMT -5
Znanost bez koje se ne može
Ah, ta matematika
Postoji od praistorije, a tijekom tisućljeća prikupljala je znanja svih naroda svijeta koji su imali nečim da je dopune. Njena primjena je i u znanosti i svakodnevici tolika da se život bez nje više i "ne računa"
Matematika se služi složenim jezikom kojim ne mogu
da ovladaju baš svi. Zato ga oni koji je vole smatraju lijepim.
Đaci u školama ne vole je baš mnogo. To je prava nepravda budući da je matematika kraljica među znanostima i to iz mnogo razloga. Evo samo nekih.
1) Bez nje se ne može zamisliti nijedna druga znanosti: matematika bez fizike može, ali obrnuto nikako.
2) Drži se samo točnosti: za inženjere je broj B (odnos između opsega i promjera kruga) jednako 3,14. Jer, u matematici su sve brojke važne, ali ne same po sebi, već zbog svojih svojstava - da li se, na primjer, ponavljaju beskonačno ili se uopće ne ponavljaju.
Matematičari su čak proučavali
i mehuriće od sapunice.
3) Matematika je i slobodarska znanosti jer ne nastaje samo promatranjem vanjskog svijeta i iz praktičnih razloga, već i iz uživanja u razmišljanju.
Matematika je značajna iu kulturološkom smislu, jer već tisućama godina prikuplja znanja raznih naroda: Egipćana, Vavilonaca, Grčka, Indijac ... najvjerojatnije još od vremena prije nego što je izmišljeno pismo. Riječ je o jednoj potpuno univerzalnoj znanosti koja podjednako važi u svakom kutku planete i svemira, kao i u svakoj epohe (Pitagorin poučak služimo se već više od dvije tisuće godina).
Matematika je naša prošlost i naša budućnost: bez nje ne bi postojale tvornice, mobilni telefoni, računi u banci ... Sve u svemu, da nije nje - još bismo živjeli u kamenom dobu.
Mermerna bista Pitagora sa Samosa
Od Pitagora do fraktala
Matematika je nastala iz potrebe da se broji, mjeri, prave geometrijsko tijela, tako da se ona vrlo brzo podijelila na geometriju (izučavanje prostora) i algebru (numeričke operacije). Egipćani su bili odlični poznavatelji geometrije. Po Herodotu, njihova znanja nastala su iz potrebe da premeravaju i ograničavaju njive zbog stalnog plavljenja Nila. Vavilonci su, pak, bili vrlo vješti s brojkama, dok su Grci od oba ova naroda naslijedila znanja koja su potom znatno nadogradnju: nisu se zadovoljavali približnim proračunima površine i zapremine, već su uveli izraze "točno rješenje" i "dokaz".
Kost nađena u Išangu u Kongu:
prije 20.000 godina koristila se za računanje.
Jedan od prvih velikih matematičara u povijesti bio je Pitagora iako poučak koja nosi njegovo ime nema mnogo veze s njim. Naime, bila je poznata još Vaviloncima, a možda je nije dokazao baš on, već neki njegov učenik. Pitagora je bio posebna ličnost: živio je u doba Bude, Konfucije i Zaratustra, pa je zapravo bio osnivač prave "matematičke vjere" koja je cijeli svemir i poredak u njemu objašnjavala brojevima: brojevi izražavaju vječno i nepromenljivu suštinu svih stvari. Do tog zaključka došao je proučavajući astronomiju i glazbu. Oduševljavala ga je činjenica da najjednostavniji matematički odnosi kao što su 1 / 2, 3 / 4 i 2 / 3 u glazbenom ponavljanju najviše prijaju uhu.
Njegov učenik Hipas iz Metaponta došao je do otkrića koje je poljuljalo njegova uvjerenja. Jer, on je dokazao da ne može sve da se izrazi odnosima cijelih brojeva: primjerice, odnos dijagonale i stranice kvadrata. Kako legenda kaže, Pitagora je naložio da se ovaj učenik udavi zbog grijeha što je otkrio ovu neprijatnu istinu. Međutim, Hipasovo otkriće bilo je od presudnog značaja jer je otkrilo apstraktno svojstvo matematike.
Astronomska opažanja i potreba za održavanjem
vjerskih rituala pridonijeli su nastanku matematike
(najstarija stepenastu piramida u Sakari, u Egiptu).
Arapi spasi znanost
Nakon slabljenja utjecaja grčke kulture i razvoj matematike u Europi se zaustavio. Naime, Rimljani su više voljeli da grade. Na svu sreću, stvar su spasi Arapi koji su preveli Euklida, Platona, Aristotela i prihvatili i razradili veliku indijska algebarski baštinu, posebno decimalni sustav (brojke od 0 do 9 koje i danas koristimo), pojam nule i negativnih brojeva (koje su Europljani u potpunosti prihvatili tek u 17. stoljeću). Potom su matematiku ponovo "donijeli" u srednjovekovnu Europu.
U 16. stoljeću ipak su nastupile promjene. Pod naletom turskih osvajanja, Arapska kultura doživjela je propast, a Europljani su počeli da prevode radove Grčka, prije svega Euklida i Arhimeda. Dok je Euklid označavao prošlost, Arhimed se pokazao kao osnova za nadgradnju nove matematike i fizike, prije svega zbog njegovih izučavanja hidraulike i centra gravitacije predmeta.
Euklid (nagnute) na jednoj Rafaelovoj zidnoj slici.
Poslije Biblije, njegovo djelo "Elementi" najviše
je štampano u povijesti.
Pojavljuju se koordinate
Naredni veliki korak svojim dijelom napravio je Francuz Rene Dekart koji je ujedinio grčku geometriju i arapsko-indijska algebru pravolinijskim koordinatni sustavom: riječ je o sustavu kojim se svakoj točki neke ravni dodjeljuju dva broja (koordinate) baš kao što se na geografskim kartama radi s dužinom i širinom. Tako je Dekart stvorio analitičku geometriju u kojoj su geometrijske figure poput parabola i pravih linija točno određene matematičkim formulama.
Može li se zemljopisna karta obojiti s četiri boje,
a da se iste nigdje ne dodirnu? Odgovor je - da!
Stoljeće kasnije, ovu zamisao razradili su Britanac Isak Njutn i Nijemac Gotfrid Lajbnic i, neovisno jedan od drugog, izmislili infinitezimalan račun, veoma važan instrument koji je omogućio da se odrede osobine krivih linija i površi, i to točka po točka.
Njutn je ovaj novi ogranak matematike razvio iz praktičnih razloga: služio mu je kao sredstvo za opisivanje zakona fizike koje je upravo otkrio. U povijesti matematike, međutim, često se događalo suprotno: najprije su stvarane teorije, naoko posve "beskorisne", koje bi zatim nalazile neočekivane i veoma važne primjene. Kao, na primjer, diferencijalna geometrija koju su razradili Karl Gaus i Bernard Riman, a koja se pokazala od presudnog značaja za Ajnštajnovu teoriju općega relativiteta (da bi, između ostalog, objasnio kako zvezde deformišu prostor-vrijeme). Kao i imaginarni brojevi ( "I"), koji su uvedeni kako bi razriješili algebarski problem nalaženja brojeva koji, "podignuti na kvadrat", to jest pomnožen samim sobom, daju -1.
Arapske brojke vremenom su se menjale.
Pošto ne postoji nijedan "tradicionalan" broj s ovakvim svojstvom, Rafael Bombeli iz Bolonje izmislio je 1572. godine "i" i to je u početku bilo samo formalno sredstvo, ali se ova zamisao pokazala korisnom: bez imaginarnih brojeva bilo bi vrlo teško opisati električna i magnetna polja. A elektronika ne bi ni postojala.
Prestrojavanje u matematici
Ova stranica s brojevima Maja
danas se čuva pod imenom
Kodeks iz Dresden.
Matematička analiza, to jest evolucija Njutnovog i Lajbnicovog infinitezimalnog računa, u 19. stoljeću nevjerojatno se razvila. No, matematičari su počeli da shvaćaju da neke do tada izrečene tvrdnje, koje su prihvaćene zdravo za gotovo kao točne, uopće nisu bile takve. Stoga se pojavila potreba da se analizi, logičkim donošenju zaključaka i dokaza postave nekakvi zajednički temelji.
Na čelo velikih stručnjaka u ovoj oblasti izbio je Nijemac David Hilbert koji je 1899. godine na savršen način "promijenili" čitavu geometriju. Na isti način nastavio je i sa drugim oblastima matematike, jer je trebalo postaviti aksiome i logičko pravila zaključivanja, a samim tim i svaku teoremu. Današnjim rječnikom rečeno, bilo je to kao pronalaženje softvera koji bi računalu omogućio da donosi zaključke na sve matematičke probleme i dileme.
No, posao je bio mnogo mukotrpniji nego što je izgledalo, te je 1931. godine Austrijanaca Kurt Godel pokazao da je to i nemoguće. On je došao do dva zaključka od ogromne važnosti: 1) nije moguće dokazati da matematika u svojoj ukupnosti nikad sebi ne protivureči i 2) postoje "neodređene" tvrdnje za koje se ne može reći ni da su točne ni da su pogrešne.
Peruanske Inke nisu znale da pišu,
ali su za "zapisivanje" brojeva koristili
quipu kao što je ovaj: čvorovima su
označavali brojeve i druge zabeleške,
a sustav im je bio decimalan kao i naš.
Matematička logika zapala je tada u duboku krizu, ali se i oslobodila starih tereta i počela razvijati u različitim pravcima. Stvorena je, na primjer, fuzzy logika (nejasna, mutne) koja osim točnih i lažnih vrijednosti razmatra i one između. Ova zamisao našla je brojne primjene, na primjer u elektronskim kolima za upravljanje strojevima za pranje rublja, jer omogućava da se odrede različiti stupnjevi zaprljanosti, boje, kvalitet tkanina, kao i da se one kombiniraju kako bi se izabrao najbolji program za pranje rublja.
Japanski trgovac sa svojim abakusom,
jednom vrstom raču-naljke koja se,
osobito na Istoku, koristila
tisućama godina.
Iseckane figure
U međuvremenu se matematika razvijala i u neočekivanim pravcima. Na prijelazu između 19. i 20. stoljeća Francuz Henri Poenkare postavio je osnove nove discipline: topologije i teorije haosa. Razvojem ovih ideja nastale su razne druge teorije, među kojima i teorija kompleksnosti koja omogućava objašnjavanje funkcioniranja skupova u kojima je "sve više od zbira dijelova", kao što su jato ptica, klima ili ljudska svijest. Poljak beno Mandelbrot objasnio je 1975. godine jednu novu klasu geometrijskih figura: fraktale. Njihovo osnovno svojstvo je "samonalikovanje", to jest uvijek su isti sami sebi koliko god da se uvećavaju.
Čemu oni služe? Za objašnjavanje razgranatih figura koje se često pojavljuju u prirodi, kao što su grane drveća, bronhije u plućima, živčani sustav ili krvotok. Smatraju ih korisnim čak i u ekonomiji, pa su stoga mnogi matematičari zaposleni u velikim financijskim kućama.
Odnedavno razvoj matematike dobio je novi poticaj nastankom i upotrebom računala. Pomoću njega (ali i 500 gusto ispisanih stranica teksta) matematičari sa Univerziteta Ilinois dokazali su 1976. godine teoremu o četiri boje (vidi crtež). Odnos s informatiku promijenio je matematiku, tako da danas postupak dokazivanja ne zavisi samo od ljudske pameti, već i od tehnologije. Mnogi smatraju da se matematika kao plemenita nauka na taj način "isprljala". Ili su joj se, pak, otvorile nove mogućnosti za obnavljanje
Neizbežni broj 5
Za sve narode svijeta, od Maja do Rimljani, od praistorije do danas, broj 5, broj prstiju na šaci, igrao je posebnu ulogu. U Čehoslovačkoj je čak 1937. godine nađena jedna kost vuka koja potječe od prije 30.000 godina, s 55 ureza grupiranih po pet crtica.
Broj pet zapravo je glavni u svim sustavima brojanja ili označavanja brojevima. Od europskog, koji se oslanja na 10 (dva puta pet), do majanskog, koji se zasniva na 20 (4 puta 5) i vavilonskog (12 puta 5). Ovaj broj često je imao posebnu oznaku: kod Rimljanima je to bilo "V", kod Maja štapić (umjesto loptica za druge brojeve).
A nula? Jedini koji su koristili nulu bili su Maje i Indijci (koji su je prenijeli Arapima). Vavilonci su imali simbol koji je označavao odsustvo brojki, ali ga nisu mnogo koristili.
Prsti - prva računaljka
Decimalni sustav koji mi danas koristimo u brojanju i računanju vrlo je star, ali nije bio i jedini u povijesti. No, u osnovi svega leži uporaba pet prstiju na ruci
Matematika je jedan uzavreli lonac u kome su se stoljećima kuvale i sjedinjavale sličnosti i razlike raznih kultura. Jedina nit koja ih sve povezuje su brojevi 5, 10 i 20, jer je 5 broj prstiju na jednoj ruci, 10 broj na dvije ruke, a 20 zbroj prstiju na rukama i nogama. Njima su se ljudi odvajkada služili.
Sustav na temelju broja 20 je veoma star i vjerojatno su ga koristili daleki preci Francuza, jer oni i danas broj 80 iskazuju kao "4 puta 20" (quatre vingt). Ovaj način brojenja i računanja bio je rasprostranjen i kod naroda Maja u Južnoj Americi, jer su i oni za 80 govorili "4 puta 20".
No, u matematici antičkog doba ima dosta sličnosti i razlika, a svaka je imala i prednosti i mana. Grci su, na primjer, bili genijalci za geometriju, ali nevešti u računskim radnjama. Možda zato što su za pisanje brojeva koristili slova alfabeta koja su često stvarala zabunu. I Rimljani su bili slični, jer je i kod njih najobičniji dodatak bilo izražavano složenicama poput lii + CXLI ...
Vavilonci su, naprotiv, kao osnovu koristili broj 60. Kad bi pisali red znamenki, npr. "92640", to je značilo sljedeće: 9Š (60Š60) + 26Š60 +40, to jest 34.000 u našem decimalnom sustavu, što je slično kao da je napisano 9 sati, 26 minuta i 40 sekundi ( ukupno, dakle, 34000 sekundi). Vjerojatno da naš današnji način izražavanja vremenskih odrednica potječe baš od Vavilonaca, jer inače nije jasno odakle su. Jedni misle da su nastali zbog astronomskih proračuna, drugi zbog potrebe lakšeg računanja (60 je djeljiv s 20, 10 i 5, ali i sa 30, 12, 6, 3 i 2).
Egipćani su imali sebi svojstven brojčani sustav. Temeljio se na decimalnoj bazi, kao i naš, ali su koristili različite simbole za označavanje desetica, stotina, hiljada ... Suprotno od našeg sustava, vrijednosti egipatskih brojeva nisu se čita "po mjestu u nizu", već su ovisili od simbola kojim su izražene. No, Egipćani su se posebno istaknuli upotrebom razlomaka. Iz nama nepoznatih razloga nisu koristili računske radnje s cijelim općim brojevima, već su isključivo upotrebljavali razlomka tipa 1 / n. Na primjer, umjesto 2 / 5 pisali su 1 / 3 + 1 / 15 (čiji je zbroj 2 / 5). Ponekad su ove računske operacije dostizao stupanj prave virtuoznosti, na primjer kad su razlagali razlomak 2 / 13 = 1 / 8 +1 / 52 +1 / 104.
Jedan od najoriginalnijih sistema računanja u Americi razvile su Inke u Peruu. Za brojanje ali i za druge vrste "zabeleški" (Inke nisu imale pismo), koristili su konopce pune čvorova - quipu. Ovaj sustav izmišljen je u razdoblju između 550. i 1000. godine da bi se podaci mogli prenositi iz jednog u drugi dio carstva. Zvuči čudno, ali se quipu zasnivao na načinu računanja koji je u nečemu sličan našem i razvijeniji je nego što su ga imali Grci i Rimljani. Riječ je o decimalnom sustavu s logičnim rasporedom znamenaka u nizu. I kod njih je, kao i kod nas, 2 u broju 21 vredeo više od onog u 12, jer se u prvom slučaju nalazi više lijevo i ukazuje na desetica, a u drugom slučaju na jedinice.
Ipak su u Americi prije Kolumba najprosvećeniji matematičari bili Maje. Oni su izmislili svoj koncept "nule", a kad smo već kod nule, ona koju mi koristimo izmišljena je u Indiji u vrijeme kad su se u Europi još koristili rimski brojevi. Ono što je manje poznato jeste da su Indijci izmislili i koncept beskonačnog, a sve zahvaljujući džainističkoj doktrini po kojoj vasiona oduvijek postoji i u njoj vladaju nevjerojatno dugi Kozmički ciklusi. Jedan ciklus, po njima, traje 2588 godina, to jest 1013065324433836171511. .. i tako još 158 brojki.
Danas se na planeti Zemlji ustaljuje novi numerički sustav zasnovan na samo dva broja - 0 i 1 - i zbog toga je nazvan binarni. Na njemu se zasniva rad svih računala svijeta: umjesto 5 X 4 oni pišu 101 X 100, ali je rezultat uvijek isti - 10100 (odnosno 20). Usprkos raznim načinima pisanja brojeva i računanja, matematika je na svu sreću uvijek ista: i za ljude i za računala.
Računanje nam je urođeno
Mnogi Ogledi pokazuju da je "osjećaj za brojke", to jest sposobnost odmah zapažam brojnost nečega (u manjim količinama) čovjeku urođena, dok ostalo učimo u školi. Po nekim znanstvenicima univerzalnost matematike upravo i nastaje zahvaljujući našem mozgu koji nam zapoveda da razmišljamo na određeni način. Taj osjećaj, uostalom, imaju i životinje, koje odmah uočavaju da li pred sobom imaju jednu, dvije, tri ili više jedinki svoje ili druge vrste.
U Amazoniji postoji pleme Mundurukus čiji članovi znaju da broje do četiri, a za sve što je preko toga kažu "mnogo". Oni sigurno nemaju manje intelektualne sposobnosti od drugih ljudi, ali su se jednostavno prilagodili okolini u kojoj žive gdje računanje nije od velike pomoći u svakodnevnom životu. Matematika bi za njih, kako smatraju neki stručnjaci, značila da treba žrtvuju neke druge sposobnosti (na primjer, smisao za orijentaciju u prostoru) koja im je mnogo važnija za preživljavanje u džungla.
Čini se da i djeca od samo nekoliko mjeseci već imaju osjećaj za brojke. Ako gledaju u neku kutiju u koju je stavljeno pet predmeta a potom još pet, očekuju da ih ima deset. Ako neko potom skloni pet predmeta, gledaju začuđeno, jer primjećuju da u kutiji nešto nedostaje.
Za praistorijskog čovjeka prvi oblik razumijevanja količine nečega bilo je brojanje, a to nije isto što i osjećaj za brojke. Naši daleki preci počeli su broje prije 30.000 godina, o čemu svjedoče kosti s urezima nađene u Čehoslovačkoj i Kongu. Koji je bio sljedeći korak ne zna se, ali ipak sve ukazuje na to da je matematika rođena prije pisanja. Potom je ova nauka postajala sve apstraktnija tako da danas sposobnost računanja više ne čini dobrog matematičara.
Vavilonci mjerila na tuce
U posljednje vrijeme riječ "tuce" je sve što je ostalo od jednog veoma drevnog sustava brojenja kome se polako gubi trag. Broj 12 (tuce nečega, 12 komada) bio je veoma važan za Vavilonce: u njihovom danu bilo je dvanaest sati, toliko je mjeseci u godini i isto toliko zodijačkih znakova. Za suvremene Britance, pak, 12 penija činilo je jedan Schilling, jedna stopa iznosi 12 palcem, a u mnogim zemljama kupovala su se jaja, dugmad ili nešto slično na tuce.
Zašto je broj 12 toliko važan? Možda zato što su neki naši preci (a neki narodi to još čine) koristili palac za brojanje i računanje pomoću 12 članaka na prstima iste ruke.
www.politikin-zabavnik.co.yu/